Si buscamos la palabra "inducción" en un diccionario de la Lengua nos encontramos con una definición más o menos como la que sigue:
"Acción y efecto de inducir".
El lector se preguntará ¿y qué es inducir? Pues bien, inducir (en la acepción que nos interesa) es:
"Extraer, a partir de determinadas observaciones o experiencias particulares, el principio general que en ellas está implícito".
Es decir, pasar de lo particular a lo general. Esta es la base del método científico. Primero se observan una serie de casos particulares, luego se hace una hipótesis general y ésta se comprueba mediante nuevos experimentos. Si los experimentos concuerdan con la hipótesis, entonces tenemos una ley general que seguirá siendo válida mientras no haya experimentos que la desmientan. ¿Tiene esto algo que ver con la inducción matemática? Pues la verdad es que sólo un poco. En primer lugar, tenemos que decir que se trata de un método con el que podemos probar ciertos enunciados relativos a los enteros positivos (los números naturales). Estos enunciados suelen ser ciertos para algunos de estos enteros pero nos interesa comprobar que son ciertos para todos ellos. Pero, como nuestros lectores saben, los enteros positivos son uno de los primeros ejemplos (si no el primero) de conjuntos infinitos. Así pues, está claro que no podemos probar el enunciado de uno en uno. En resumen, el método de inducción matemática no es más que otro artificio con el que podemos lidiar con el "infinito". Sí, ese infinito que tiene muchas caras y que yace por doquier en el cuerpo de las matemáticas.
Nos parece pues muy interesante explicar un poco cómo se define en la actualidad el conjunto de los números naturales. O más bien, qué se entiende por conjunto naturalmente ordenado.
Sea X un conjunto no vacío (es decir, que tiene al menos un elemento) y en el que hemos definido una relación de orden total (una relación de orden en la que dados dos elementos cualquiera siempre resulta que uno es mayor que el otro o son iguales). Pues bien, dado un conjunto X de esta manera, decimos que es naturalmente ordenado si cumple estos tres axiomas:
1) Hay un elemento en X que es "más pequeño" que todos los demás. Lo llamaremos primer elemento y lo notaremos por 0
2) Para cada elemento x perteneciente a X, existe otro elemento x' de X distinto al propio x, tal que es x < = x' y si algún otro elemento w de X cumpliera la condición x < = w < = x', llegaríamos a la conclusión de que x'=w. Es decir, para cada elemento x de X siempre hay un "sucesor" que resulta ser el más pequeño de aquellos que son mayores que x.
3) Si un subconjunto de X contiene al primer elemento (o sea al cero) y al sucesor de cada uno de sus elementos, entonces dicho subconjunto es el propio X.
Espero que a esta altura de mi exposición el lector no se halle perdido. Al fin y al cabo, aunque muchos manejamos los números naturales pocos entienden por qué son así. También se me puede objetar que el 0 no es un número natural. Pues bien, lo es según se mire. Al fin y al cabo no es más que un símbolo para el primer elemento y podría haber utilizado el símbolo 1 para denotarlo. En resumen, un conjunto no vacío X con una relación de orden total y cumpliendo 1) 2) y 3) es un conjunto naturalmente ordenado. Pero, ¿existe algún conjunto así? En este punto, la teoría de conjuntos viene al rescate. Se puede probar (y me disculparán si no lo hago) que existe al menos un conjunto naturalmente ordenado y lo que es más interesante que todos los conjuntos naturalmente ordenados que podamos crear son isomorfos (es decir, que son la misma cosa con nombres distintos). Llamaremos pues conjunto de los números naturales y notaremos con el símbolo N a cualquiera de los conjuntos naturalmente ordenados. En este punto, diremos que el método de inducción no es más que una consecuencia directa del axioma 3) de N y emplazamos al lector a nuestro siguiente "post" (pues me parece que con estas líneas ya hay bastante que meditar).
