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Matemáticas y cosas mías

77 elevado a 77

En mi etapa de Xpertia recuerdo algunas preguntas que se me hicieron y de las que aprendí algunas curiosidades mientras intentaba responderlas. La siguiente es una de ellas que transcribo literalmente:
Pregunta: Me gustaría conocer en qué cifra termina el número que resulta de elever 77 a 77.
Número imposible de lograr mediante una calculadora normal. Si conoce la respuesta, me gustaría que me explicara cual ha sido el método seguido
Respuesta:
En primer lugar, pido disculpas por la tardanza en responder. El valor que pides es calculable con cualquiera de los programas de cálculo simbólico avanzados (Maple, Mathematica, etc.). Concretamente
77^77 = 18188037387806198379277339915556929647807403283187048631478337739929618787870634227045716719924575
689062274471430368865388203540672666042530996797
Por lo que la última cifra de este número entero es 7. Pero, ¿cómo conocerla sin hacer todo el cálculo? Para responder a esta pregunta usaremos la descomposición en factores primos de 77 y algunas propiedades de las potencias. En efecto,
77^77 = (7*11)^77 = 7^77 * 11^77
Observamos que las potencias de 11 se caracterizan por acabar siempre en 1. Esto reduce el problema a averiguar en qué número acaba 7^77 puesto que al hacer el producto 7^77 * 11^77 la última cifra es el resultado de multiplicar la última de cifra de 7^77 por la última cifra de 11^77.
Las últimas cifras de las potencias de 7 siguen la sucesión periódica, 7, 9,3,1,7,9,3,1,... Por tanto, para saber la última cifra de 77^77 bastará con dividir 77 entre 4 y obtener el resto. El resto es 1 lo que nos dice que la última cifra de 77^77 es 7 (al ser éste el primer término de los cuatro que forman el período). Resumiendo, la última cifra es 7*1 = 7.
Saludos
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