Blogia
Matemáticas y cosas mías

Matemáticas

MathML y mozilla

MathML y mozilla Tras varios intentos he conseguido por fín instalar las fuentes necesarias para que el navegador Mozilla muestre de forma correcta páginas web con Mathml. Para aquellos que no lo sepan Mathml es un lenguaje estándar para presentación de matemáticas en la web. Es decir, para que podamos ver directamente los símbolos matemáticos en páginas web sin necesidad de insertar imágenes o recurrir a otros artificios. Mozilla es el primer navegador que soporta el renderizado de forma nativa. Para el navegador Explorer es necesario de momento recurrir a plug-ins. Intentaré explicar cómo lo he hecho. En primer lugar, como trabajo con Linux Fedora Core 1 he podido descargar las fuentes MathML en formato rpm y así "allanarme" el camino para la posterior instalación. En concreto, el archivo tiene por nombre mathml-fonts. Podéis descargarlo de aquí o bien utilizando apt-get buscarlo en los repositorios más comunes. También he descargado el archivo acroread 5 para fedora desde aquí. Una vez descargados ambos archivos rpm se procede a la instalación: primero el acroread y a continuación el mathml-fonts. A continuación comprobamos que en /usr/share/fonts existe un directorio llamado mathml con los archivos siguientes:

cmbx10.ttf
cmex10.ttf
cmmi10.ttf
cmr10.ttf
cmsy10.ttf
encodings.dir
fonts.cache-1
fonts.dir
fonts.scale
math1___.ttf
math2___.ttf
math4___.ttf
msam10.ttf
msbm10.ttf
mtextra.ttf
Symbol.pfa
wasy10.ttf

Ahora viene la parte que más problemas suele dar. La fuente Symbol no se muestra correctamente, es necesario hacer una serie de manipulaciones para evitar errores. Los detalles viene bien explicados en la página de tth. Lo que yo he hecho es simplemente verificar que el archivo Symbol.pfa es un enlace simbólico a /usr/lib/acroread/Resource/Font/Symbol y ejecutar el script Xfonts.fix como root. Este script realiza una serie de acciones. Recomiendo comprobar que realmente cambia el orden de las fuentes en el archivo /usr/lib/mozilla-*.*.*/res/mathml.css para dejarlo así:

math {
display: inline;
font-size: inherit;
font-style: normal;
font-family: CMSY10, Symbol, Times, Lucida Sans Unicode, MT Extra, Math1, Math2, Math3, Math4, Math5, serif;
}

En teoría esto es todo lo que hay que hacer. En una próxima entrega hablaremos de como transformar de LaTeX a MathML.

77 elevado a 77

En mi etapa de Xpertia recuerdo algunas preguntas que se me hicieron y de las que aprendí algunas curiosidades mientras intentaba responderlas. La siguiente es una de ellas que transcribo literalmente:
Pregunta: Me gustaría conocer en qué cifra termina el número que resulta de elever 77 a 77.
Número imposible de lograr mediante una calculadora normal. Si conoce la respuesta, me gustaría que me explicara cual ha sido el método seguido
Respuesta:
En primer lugar, pido disculpas por la tardanza en responder. El valor que pides es calculable con cualquiera de los programas de cálculo simbólico avanzados (Maple, Mathematica, etc.). Concretamente
77^77 = 18188037387806198379277339915556929647807403283187048631478337739929618787870634227045716719924575
689062274471430368865388203540672666042530996797
Por lo que la última cifra de este número entero es 7. Pero, ¿cómo conocerla sin hacer todo el cálculo? Para responder a esta pregunta usaremos la descomposición en factores primos de 77 y algunas propiedades de las potencias. En efecto,
77^77 = (7*11)^77 = 7^77 * 11^77
Observamos que las potencias de 11 se caracterizan por acabar siempre en 1. Esto reduce el problema a averiguar en qué número acaba 7^77 puesto que al hacer el producto 7^77 * 11^77 la última cifra es el resultado de multiplicar la última de cifra de 7^77 por la última cifra de 11^77.
Las últimas cifras de las potencias de 7 siguen la sucesión periódica, 7, 9,3,1,7,9,3,1,... Por tanto, para saber la última cifra de 77^77 bastará con dividir 77 entre 4 y obtener el resto. El resto es 1 lo que nos dice que la última cifra de 77^77 es 7 (al ser éste el primer término de los cuatro que forman el período). Resumiendo, la última cifra es 7*1 = 7.
Saludos

Primera lectura de topología

Primera lectura de topología Ya he terminado el borrador de la primera lectura de topología. Está disponible en código fuente LaTeX en la dirección www.pitagoras.org/TOP01, sección DOCUMENTOS. También se puede bajar la versión PDF en esa misma dirección. Para acceder sólo es necesario inscribirse en el curso de Topología. Si no os apetece suscribiros podéis pedirme la versión PDF por correo electrónico (mathematikus-arroba-yahoo.es).

Lecturas de topología

Lecturas de topología Estoy repasando algunos conceptos de topología y en este empeño me he puesto a redactar una especie de lecturas. Pretenden ser amplias y con muchos ejemplos y para su elaboración estoy empleando LaTeX con el editor Kile en un entorno Linux (Mandrake 9.1 para ser más concreto). Aunque, como siempre, me está resultando más difícil de lo que parecía, estoy contento con la facilidad de edición y la potencia de este editor. Lo recomiendo encarecidamente. Pues bien, he pensado ir colocando dichas lecturas en esta página y también en la de El Paraíso de las Matemáticas. Lo haré en formato PDF y estoy meditando si dejar el código fuente para ver si alguien más se anima a ir ampliandolas.

¿Qué es el método de inducción y qué se puede probar con él? (I)

¿Qué es el método de inducción y qué se puede probar con él? (I) Si buscamos la palabra "inducción" en un diccionario de la Lengua nos encontramos con una definición más o menos como la que sigue:
"Acción y efecto de inducir".
El lector se preguntará ¿y qué es inducir? Pues bien, inducir (en la acepción que nos interesa) es:
"Extraer, a partir de determinadas observaciones o experiencias particulares, el principio general que en ellas está implícito".
Es decir, pasar de lo particular a lo general. Esta es la base del método científico. Primero se observan una serie de casos particulares, luego se hace una hipótesis general y ésta se comprueba mediante nuevos experimentos. Si los experimentos concuerdan con la hipótesis, entonces tenemos una ley general que seguirá siendo válida mientras no haya experimentos que la desmientan. ¿Tiene esto algo que ver con la inducción matemática? Pues la verdad es que sólo un poco. En primer lugar, tenemos que decir que se trata de un método con el que podemos probar ciertos enunciados relativos a los enteros positivos (los números naturales). Estos enunciados suelen ser ciertos para algunos de estos enteros pero nos interesa comprobar que son ciertos para todos ellos. Pero, como nuestros lectores saben, los enteros positivos son uno de los primeros ejemplos (si no el primero) de conjuntos infinitos. Así pues, está claro que no podemos probar el enunciado de uno en uno. En resumen, el método de inducción matemática no es más que otro artificio con el que podemos lidiar con el "infinito". Sí, ese infinito que tiene muchas caras y que yace por doquier en el cuerpo de las matemáticas.
Nos parece pues muy interesante explicar un poco cómo se define en la actualidad el conjunto de los números naturales. O más bien, qué se entiende por conjunto naturalmente ordenado.
Sea X un conjunto no vacío (es decir, que tiene al menos un elemento) y en el que hemos definido una relación de orden total (una relación de orden en la que dados dos elementos cualquiera siempre resulta que uno es mayor que el otro o son iguales). Pues bien, dado un conjunto X de esta manera, decimos que es naturalmente ordenado si cumple estos tres axiomas:
1) Hay un elemento en X que es "más pequeño" que todos los demás. Lo llamaremos primer elemento y lo notaremos por 0
2) Para cada elemento x perteneciente a X, existe otro elemento x' de X distinto al propio x, tal que es x < = x' y si algún otro elemento w de X cumpliera la condición x < = w < = x', llegaríamos a la conclusión de que x'=w. Es decir, para cada elemento x de X siempre hay un "sucesor" que resulta ser el más pequeño de aquellos que son mayores que x.
3) Si un subconjunto de X contiene al primer elemento (o sea al cero) y al sucesor de cada uno de sus elementos, entonces dicho subconjunto es el propio X.
Espero que a esta altura de mi exposición el lector no se halle perdido. Al fin y al cabo, aunque muchos manejamos los números naturales pocos entienden por qué son así. También se me puede objetar que el 0 no es un número natural. Pues bien, lo es según se mire. Al fin y al cabo no es más que un símbolo para el primer elemento y podría haber utilizado el símbolo 1 para denotarlo. En resumen, un conjunto no vacío X con una relación de orden total y cumpliendo 1) 2) y 3) es un conjunto naturalmente ordenado. Pero, ¿existe algún conjunto así? En este punto, la teoría de conjuntos viene al rescate. Se puede probar (y me disculparán si no lo hago) que existe al menos un conjunto naturalmente ordenado y lo que es más interesante que todos los conjuntos naturalmente ordenados que podamos crear son isomorfos (es decir, que son la misma cosa con nombres distintos). Llamaremos pues conjunto de los números naturales y notaremos con el símbolo N a cualquiera de los conjuntos naturalmente ordenados. En este punto, diremos que el método de inducción no es más que una consecuencia directa del axioma 3) de N y emplazamos al lector a nuestro siguiente "post" (pues me parece que con estas líneas ya hay bastante que meditar).